Wędrówka w głąb kształtów

„To nie jest książka dla akademików i ludzi badających fraktale – raczej dla osób trzymających się z daleka od matematyki. Chciałem im pokazać, jak fascynujące są fraktale, jak dużo się w tej dziedzinie wydarzyło, i jak trudno byłoby bez nich osiągnąć to, co osiągnięto w tej chwili w różnych dziedzinach życia” – podkreślił w rozmowie z PAP autor, prof. Andrzej Katunin z Politechniki Śląskiej (PŚ) w Gliwicach. Jest on naukowcem i popularyzatorem nauki, a także autorem nowej książki „Fraktale. Matematyczne potwory, które odmieniły postrzeganie świata”. To pierwsza pozycja popularnonaukowa, wydana przez wydawnictwo PŚ w Gliwicach.

Fraktale to twory matematyczne, przedstawiane w graficznej postaci są jako bardzo złożone obiekty o określonych cechach. Jedną z nich jest samopodobieństwo, które oznacza, że fraktal oglądany w skali mikro- i makro wygląda tak samo. Autor książki prof. Andrzej Katunin prezentuje całą „galerię potworów” - jak dawniej nazywano fraktale. Przegląd klasyki obejmuje m.in. krzywą von Kocha, Peano, Hilberta czy Gospera, trójkąty (i dywan) Sierpińskiego, gąbkę Mengera, zbiory Julii, Fatou i Mandelbrota…. Jest też o najnowszych fraktalach wielowymiarowych.

No właśnie - Benoit Mandelbrot. Wielu osobom jego nazwisko może "z czymś się kojarzyć". W tej książce przewija się ono jak refren. Człowiek, zwany dziś ojcem fraktali, urodził się w Warszawie niemal wiek temu. Nie należał do pilnych uczniów i szybko stracił zainteresowanie szkolną nauką. A jednak - m.in. dzięki doskonałej wyobraźni przestrzennej – zajął się pracą naukową w obszarze matematyki i inżynierii. Później pracował w IBM, gdzie zajmował się różnymi problemami – od lingwistyki i teorii gier, po geografię, fizykę i ekonomię. Analizując wahania cen bawełny odkrył, że dzienne wahania tych cen, pozornie przypadkowe, w perspektywie ponad stuletniej wykazują pewne prawidłowości. Jego analizy zrewolucjonizowały nauki ekonomiczne, a później stały się zalążkiem analizy fraktalnej i pojęcia wymiaru fraktalnego.

Mandelbrot był ciekawą postacią - zwłaszcza, jeśli życiorys jest ciekawie opowiedziany - tak, jak we "Fraktalach". Andrzej Katunin pisze, że dzięki Mandelbrotowi geometria fraktalna wkroczyła z impetem do nauk przyrodniczych, technicznych i zastosowań inżynierskich. Trudno dziś znaleźć dyscyplinę, która nie wykorzystywałaby tych narzędzi. I choć umysł ludzi od wieków potrafił wyszukiwać i naśladować struktury fraktalne, to dzięki Mandelbrotowi mamy narzędzia, które pozwalają zmierzyć i określić złożoność tych struktur geometrycznych, ale też odtworzyć je w realistyczny sposób i stosować w różnych dziedzinach.

Z fraktalami ściśle związany jest też… chaos. Teoria chaosu to stosunkowo nowa dziedzina naukowa, ale związane z nią kwestie – takie jak ruch ciał niebieskich czy wahadeł – interesowały ludzi od dawna. Teoria chaosu pozwala dziś badać i opisywać układy dynamiczne, jak np. rozwój epidemii. Jednak modelowanie pogody na długą metę (które również podlega zasadom teorii chaosu deterministycznego) wciąż pozostaje poza naszym zasięgiem, i to mimo zwiększania mocy obliczeniowych, kierowanych do tego zadania.

W swojej książce Andrzej Katunin pokazuje, jak wiele obiektów i zjawisk wokół człowieka posiada cechy fraktali. Autor książki przedstawia liczne przykłady obiektów świata natury, które mają cechy fraktalne. A ponieważ człowiek od zawsze naturę podpatruje - przenosi pewne rozwiązania do innych sfer życia. To niewiarygodne, że naukowiec zajmujący się fraktalami znajduje je w architekturze miejsc tak odległych, jak Włochy i Hiszpania, Indie, czy afrykańskie wioski.

Cechy fraktali przechodzą do rozwiązań technologicznych i obecnie trudno sobie wyobrazić dziedziny nauki, których nie dotknęła geometria fraktalna. Wśród tych dziedzin znalazł się cały przekrój nauk ścisłych, inżynierskich, i nauk o życiu, zaczynając od chemii i biologii, a kończąc na astrofizyce. Geometria fraktalna znalazła zastosowanie praktycznie w każdej dziedzinie nauki. Nawet w tak odległych od matematyki dziedzinach, jak sztuka filmowa czy lingwistyka. Algorytmy oparte na fraktalach obecne są np. w kryptologii i służą do szyfrowania czy do tworzenia tzw. kluczy, niezbędnych do odszyfrowania informacji. Geometria fraktalna znajduje zastosowanie w telekomunikacji, a konkretnie – w budowie anten, gdzie przyczyniła się do prawdziwej rewolucji.

Fraktale to także potężne narzędzie do analizy sygnałów; pomagają wykrywać anomalie, wykonując prognozy i zwiększając wydajność. Analiza fraktalna wahań rynkowych stała się w ekonomii i finansach tak powszechna, że obecnie uważana jest za klasyczne narzędzie - podkreśla prof. Katunin w swojej książce. Pozwala ono z dużym prawdopodobieństwem przewidywać krach na rynkach finansowych czy zmienność kursów walut.

Fraktale wkroczyły też do biologii i medycyny – w takim sensie, że pomagają zrozumieć budowę i działanie wielu układów i struktur, np. układu nerwowego, płuc czy tkanki kostnej. Dzięki cechom fraktali, uzyskują one dodatkowe cechy takie, jak sztywność i lekkość jednocześnie. Dzięki lekturze książki łatwo się przekonać, jak często mamy do czynienia z kształtami rodem z matematyki. Wprawne oko dostrzeże je co krok.

Anna Ślązak